Arrêté du 21 décembre 2020 modifiant l’arrêté du 24 juin 2019 relatif aux concours d’admission à l’Ecole militaire interarmes prévus à l’article 5 du décret n° 2008-940 du 12 septembre 2008 portant statut particulier du corps des officiers des armes de l’armée de terre

ANNEXE
« 1.-PROGRAMME DE L’ÉPREUVE DE “ MATHÉMATIQUES ET D’ANALYSE DE PROCESSUS ” DU CONCOURS “ SCIENCES ”

Mathématiques.
Calculs numériques :

-nombres entiers, entiers relatifs, rationnels, réels, complexes. Les ensembles ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ ;
-manipulations sur les puissances fractionnaires et négatives d’un nombre réel ou complexe ;
-réductions et opérations élémentaires sur les fractions ;
-calculs logarithmiques (sur les nombres réels) ;
-le plan complexe : affixe d’un point, parties réelles et imaginaires, conjugaison ;
-somme, produit, quotient de nombres complexes ;
-forme trigonométrique d’un nombre complexe (écriture

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relation

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formules de MOIVRE et d’EULER). Application à la linéarisation de polynômes trigonométriques ;
-racines nième d’un nombre complexe ;
-formules de trigonométrie élémentaires, transformation de somme en produit et de produit en somme ;
-définition de n !, coefficient binomial, formule du binôme et triangle de PASCAL.

Equations, inéquations, systèmes :

-résolution d’équation du premier et du second degré, ou d’équation s’y ramenant par changement de variable ;
-résolution d’une équation du premier et du second degré, pouvant contenir des valeurs absolues, des logarithmes, des exponentielles, et représentation graphique de l’ensemble des solutions ;
-résolution d’inéquations ou de systèmes d’inéquations linéaires et représentation graphique de l’ensemble des solutions ;
-résolution d’équations se ramenant à des équations de la forme cos x = a ou sin x = a ;
-résolution de systèmes d’équations linéaires à 2 ou 3 inconnues par opérations élémentaires sur les lignes.

Suites numériques :

-limite d’une suite. Suites convergentes, suites divergentes ;
-opérations sur les limites de suites ;
-convergence par comparaison (Théorème « des gendarmes ») ;
-propriété fondamentale : « Toute suite croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) est convergente » ;
-composition d’une suite de limite λ par une fonction ƒ continue au point λ ;
-suites arithmétiques, géométriques : identification de ces suites, détermination de leur composants caractéristiques et expression de leur terme général. Application aux suites arithmético-géométriques ;
-étude de suites récurrentes vérifiant une relation

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;
-sommes arithmétiques, sommes géométriques, passage à la limite sur le nombre de termes.

Polynômes à coefficients réels (définis comme fonctions polynomiales) :

-degré d’un polynôme ;
-opérations sur les polynômes : addition, multiplication ;
-division euclidienne de deux polynômes ;
-algorithme d’EUCLIDE ;
-racines d’un polynôme, ordre de la racine, factorisation de polynômes ;
-racines complexes d’un polynôme du second degré à coefficients réels ;
-application à la décomposition en éléments simples de fractions rationnelles. Les méthodes de décomposition ne sont pas exigées, elles seront mises en œuvre sur indications.

Fonctions d’une variable réelle.
Généralités sur les fonctions :

-détermination du domaine de définition et de l’image d’une fonction ;
-application bijective, application réciproque, détermination de l’application réciproque dans des cas élémentaires ;
-composition de fonction.

Représentation graphique :

-détermination des effets d’une translation ou d’une homothétie du graphe sur l’expression d’une fonction ;
-parité et périodicité : application à la représentation graphique.

Limite et continuité :

-limite de fonction, opération sur les limites ;
-limite à droite, limite à gauche ;
-calculs de limite par croissance comparée ;
-vérification qu’une droite est asymptote au graphe d’une fonction, interprétation graphique ;
-continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle, propriétés des fonctions continues ;
-théorème des valeurs intermédiaires : application à l’existence de solutions d’équations.

Dérivation :

-nombre dérivé d’une fonction en un point, dérivée à droite, dérivée à gauche ;
-fonction dérivée : diverses notations seront utilisées pour désigner la fonction dérivée ;
-interprétation géométrique du nombre dérivé ;
-règles de dérivation ;
-calcul de dérivées : dérivée d’une application composée, d’une application réciproque ;
-étude d’une fonction : sens de variation, signe, extrémums et ses applications à la résolution d’équations et d’inéquations ;
-calcul des dérivées successives : diverses notations seront utilisées ;
-primitives : tableau primitives-dérivées des fonctions usuelles.

Fonctions usuelles :

-domaine de définition, représentation graphique, expression de la dérivée, comportement asymptotique, des fonctions suivantes :
-fonctions valeur absolue, partie entière, polynômes, fractions rationnelles, radicales ;
-fonctions trigonométriques ;
-fonctions exponentielle, logarithme et puissance.

Intégration :

-Intégrale d’une fonction continue : définition de l’intégrale par la formule

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où F est une primitive de ƒ sur [a, b] ;
–

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est l’unique primitive de ƒ qui s’annule en a ;
-cas des fonctions positives : interprétation comme aire sous la courbe ;
-linéarité, positivité, comparaison, relation de Chasles ;
-calcul d’intégrale à l’aide de primitives ;
-intégration par parties.

Langage ensembliste :

-intersection, réunion, complémentaire, inclusion, appartenance, cardinal, parties, ensemble de parties, … ;
-produit cartésien de deux ensembles.

Probabilités :

-probabilités sur un ensemble fini ;
-probabilités conditionnelles, indépendance de deux événements, formule des probabilités totales, formule de Bayes ;
-variables aléatoires discrètes sur un ensemble fini et loi de probabilité. Espérance, variance, écart-type ;
-exemples de variables aléatoires discrètes : loi uniforme (équirépartie), loi de Bernoulli, loi binomiale. Espérance et variance de ces lois.

Géométrie dans le plan et l’espace :

-vecteurs de ℝ 2 de ℝ 2, distinction entre vecteurs et scalaires, combinaisons linéaires de vecteurs (la définition d’espace vectoriel n’est pas au programme). Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires ;
-produit scalaire, orthogonalité de deux vecteurs ;
-équation cartésienne d’une droite, d’un plan, d’un cercle.

Calcul matriciel :

-définition d’une matrice et opérations élémentaires sur les matrices (addition, multiplication par un scalaire) ;
-définition et propriétés du produit matriciel ;
-matrice carrée. Matrice inverse. Identification de l’inverse. Application aux calculs de puissance de matrice.

Démonstration :

-négation de proposition ;
-détermination de la contraposée d’une implication ;
-démonstration par l’absurde ;
-principe de démonstration par récurrence.

L’attention des candidats doit être attirée sur l’importance d’une bonne rédaction :
Le recours à des tableaux et graphiques peut soutenir une argumentation ou présenter des résultats, dès lors qu’un commentaire en précise clairement la signification. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements, la justification de tout résultat par un théorème, un calcul, ou un raisonnement logique, la cohérence globale des réponses sont des gages d’une bonne compréhension, et comptent pour une part non négligeable dans l’appréciation de la copie. Les objets mathématiques doivent être utilisés avec précision. Par exemple, on attend qu’il n’y ait pas de confusion entre une fonction ƒ et la valeur de cette fonction en t, notée ƒ (t).
En probabilités, on attend que les calculs soient justifiés par des formules conventionnelles préalablement citées : un arbre de probabilité ne constitue pas une preuve. Les candidats doivent faire la distinction entre une identité et une équation. On n’utilise pas de symboles mathématiques dans les phrases. Les symboles logiques

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relient des propositions.
Les copies satisfaisantes sur l’ensemble de ces points seront valorisées.
Analyse de processus.
Généralités :

-principes de l’analyse descendante ;
-généralités sur les algorithmes ;
-présentation du formalisme des logigrammes.

Notions élémentaires d’algorithmique :

-identificateurs de base (constante, variable, types) ;
-instructions élémentaires (affectation, lecture, écriture) ;
-instructions de test (égalité, différent de, supérieur à, etc.).

Instructions élémentaires :

-séquence d’instructions ;
-instructions alternatives ;
-instructions itératives.

Tableaux et enregistrements :

-tableaux ;
-enregistrements ;
-tableaux d’enregistrements.

Opérations sur les tableaux :

-parcours dans un tableau ;
-recherche d’un élément ;
-méthodes de tris (tri simple, tri par propagation, tri par insertion).

Notions de procédures et de fonctions :

-définitions ;
-variables globales et variables locales ;
-paramètres (passage par valeur, passage par adresse).